根號(hào)里面的數(shù)怎么算出來(lái)_根號(hào)里面數(shù)字怎么算的

近日，在抖音平臺(tái)上，某位女留學(xué)生“亞洲人數(shù)學(xué)能力其實(shí)很差”的觀點(diǎn)引起了廣泛爭(zhēng)議。她在視頻中提到：

就是這個(gè)出國(guó)留學(xué)以后啊，我發(fā)現(xiàn)一個(gè)我誤解多年的事情，亞洲人的數(shù)學(xué)其實(shí)很差，雖然很多人都在吐槽外國(guó)人的計(jì)算能力。

舉個(gè)例子，根號(hào)二等于多少？脫口而出1.414，π約等于3.14，但是你有思考過(guò)這個(gè)是怎么推導(dǎo)出來(lái)的么？

我們只是知道用公式解題，卻不知道為什么能用這個(gè)公式。

這也是為什么我高考數(shù)學(xué)140，但是我真的一點(diǎn)也不了解數(shù)學(xué)，知其然不知所以然，我只是擅長(zhǎng)解題，但從不追究真理。

雖然這位同學(xué)的觀點(diǎn)有失偏頗，但她至少提出了一個(gè)有價(jià)值的問(wèn)題：“根號(hào)二等于1.414是怎么推導(dǎo)出來(lái)的”。

今天我們就來(lái)聊聊這個(gè)問(wèn)題，與各位讀者分享根號(hào)二的前世今生。

在中文互聯(lián)網(wǎng)上，根號(hào)二常與“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”聯(lián)系在一起。一種流行的說(shuō)法是，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派下的成員希帕索斯，偶然間根據(jù)老師的“畢達(dá)哥拉斯定理”（即勾股定理），發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)角線長(zhǎng)度（即根號(hào)2）無(wú)法用有理數(shù)表示。

這一發(fā)現(xiàn)違背了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬(wàn)物皆數(shù)”的教義，因此希帕索斯被同門丟進(jìn)海里。但畢達(dá)哥拉斯學(xué)派無(wú)法掩蓋根號(hào)2的存在，從而“萬(wàn)物皆數(shù)”的數(shù)學(xué)大廈轟然倒塌，引發(fā)了“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。

此故事是否是歷史的真相已無(wú)從考證。不過(guò)，可以確定的是，希帕索斯并非第一個(gè)發(fā)現(xiàn)根號(hào)2的人。

在希帕索斯之前的一千多年，約公元前1800年至1600年間，古巴比倫人就發(fā)現(xiàn)了根號(hào)2。

在編號(hào)為YBC 7289的古巴比倫陶泥板上，畫著一個(gè)正方形和它的兩條對(duì)角線。對(duì)角線長(zhǎng)度用一串?dāng)?shù)字1,24,51,10標(biāo)注。由于古巴比倫采用六十進(jìn)制，這串?dāng)?shù)字可以譯作以下公式：

換句話說(shuō)，古巴比倫人知道邊長(zhǎng)為1的正方形，其對(duì)角線長(zhǎng)度大約是1.41421，計(jì)算精確到了小數(shù)點(diǎn)后5位。

古巴比倫人的發(fā)現(xiàn)距今約3700年，了不起的成就。

據(jù)數(shù)學(xué)家推斷，古巴比倫人可能用的是下述算法（因而被稱為“巴比倫法”）算出根號(hào)二的近似值。

令

; 接下來(lái)，使用以下遞推公式計(jì)算：

：

比如：

那么，a?，a?，a?，a?的數(shù)值依次是：

可以看到，a?的數(shù)值已經(jīng)精確到小數(shù)點(diǎn)后11位，與根號(hào)2的精確值非常接近，而我們僅僅做了四次迭代計(jì)算而已。

使用巴比倫方法，Ron Watkins在2016年將根號(hào)2的數(shù)值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后十萬(wàn)億（10^13）位。

小學(xué)課本上介紹根號(hào)二的時(shí)候，其實(shí)也解釋了

的原因：

對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，這樣的理解已經(jīng)足夠深刻。不過(guò)，如果采用這種方法，猜出1.4、1.41、1.414還算容易，而接下來(lái)要計(jì)算1.4142, 1.41421, 1.414213, …… 則頗費(fèi)功夫，效率遠(yuǎn)不如巴比倫法。

巴比倫法看上去非常有效，不過(guò)善于思考的讀者朋友們或許已經(jīng)開始犯嘀咕，“憑什么這樣算出來(lái)的就是根號(hào)2呢？”

問(wèn)得好。要回答這個(gè)問(wèn)題，需要用到相當(dāng)深刻的數(shù)學(xué)原理。以下我們長(zhǎng)話短說(shuō)，盡量用人話來(lái)解釋。

巴比倫法的遞推公式是

；倘若我們令

并代入，那么

化簡(jiǎn)得

毫無(wú)疑問(wèn)

的一個(gè)解。

我們得到了

，而這不是一個(gè)巧合。事實(shí)上，

是遞推式

的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

換句話說(shuō)，如果

, 那么

，保持“原地不動(dòng)”，故名為“不動(dòng)點(diǎn)”。

根據(jù)巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理，由于此遞推公式在

區(qū)間內(nèi)為一壓縮映射，數(shù)列{a_n}將收斂于該區(qū)間內(nèi)的不動(dòng)點(diǎn)

。這就是巴比倫法能不斷逼近根號(hào)2精確值的原因。

（注：篇幅所限，省略巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理的具體描述、壓縮映射的定義、遞推公式為壓縮映射的推導(dǎo)過(guò)程）。

巴比倫法其實(shí)是牛頓法的一個(gè)特例。在實(shí)際求解形如f(x)=0的方程的過(guò)程中，我們并不總有簡(jiǎn)單的方法直接求出x的精確數(shù)值，而需要近似地求x的數(shù)值解。

牛頓法就是最常用求數(shù)值解的方法之一，其遞推公式如下：

其中，

表示函數(shù)f在x_n處的導(dǎo)數(shù)。

牛頓法的本質(zhì)是不斷求函數(shù)f(x)在x_n處的切線與x軸的交點(diǎn)，以達(dá)到逼近正解的目的。下面這張動(dòng)圖形象地解釋了牛頓法的原理。

對(duì)于求解根號(hào)2這個(gè)特例，其實(shí)我們求的是

這個(gè)方程的正數(shù)解。那么我們可以記

代入牛頓法的一般遞推公式，可得

這還原了巴比倫法的遞推公式。

雖然小學(xué)生都知道根號(hào)2約等于1.414，但推導(dǎo)過(guò)程其實(shí)已經(jīng)超出了中學(xué)數(shù)學(xué)的范圍——不僅是中國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課本，也包括全世界的數(shù)學(xué)課本。

無(wú)論是牛頓法還是巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理，都只有在大學(xué)的數(shù)學(xué)課中才會(huì)涉及到。因此，中國(guó)學(xué)生不了解根號(hào)2的推導(dǎo)原理，而英國(guó)學(xué)生、美國(guó)學(xué)生、法國(guó)學(xué)生也不了解。這是一件非常正常的事，并不能說(shuō)明“亞洲人的數(shù)學(xué)能力其實(shí)很差”。

本文的目的，則是讓更多的讀者了解，

究竟是怎么來(lái)的。希望各位讀者閱讀本文后有所收獲。